Comment comparer des fractions ?

Comparer des fractions, c’est répondre à une question simple : entre deux (ou plusieurs) fractions, laquelle représente la plus grande quantité ? En classe comme dans la vie (part de gâteau, distance, temps), on a besoin d’une méthode fiable pour ne pas « deviner ».

La difficulté vient souvent d’un réflexe trompeur : croire qu’un grand dénominateur rend la fraction plus grande. Or le dénominateur indique le nombre de parts égales dans le tout : plus il est grand, plus chaque part est petite. On va donc apprendre à comparer correctement, avec des techniques adaptées à chaque situation.

Comprendre ce qu’on compare : numérateur, dénominateur et « taille des parts »

Une fraction s’écrit sous la forme a/b. Le numérateur (a) indique combien de parts on prend. Le dénominateur (b) indique en combien de parts égales on a découpé le tout.

Exemple : 3/4 signifie « 3 parts sur 4 ». Si on coupe une pizza en 4 parts égales, 3/4 correspond à 3 parts. Si on coupe la même pizza en 8 parts, 3/8 ne représente pas du tout la même quantité : ce sont 3 parts, mais des parts deux fois plus petites.

Cas n°1 : même dénominateur, comparaison immédiate

Quand les fractions ont le même dénominateur, elles découpent le tout en parts de même taille. On compare alors simplement le nombre de parts prises : c’est-à-dire les numérateurs.

Exemples :

• 5/9 et 2/9 : 5/9 est plus grand car 5 > 2.
• 7/12 et 11/12 : 11/12 est plus grand car 11 > 7.

Cas n°2 : même numérateur, on regarde le dénominateur

Quand les numérateurs sont identiques, on prend le même nombre de parts… mais pas forcément de la même taille. La fraction la plus grande est celle dont les parts sont les plus grandes, donc celle qui découpe en moins de parts : le plus petit dénominateur.

Exemples :

• 3/4 et 3/8 : 3/4 est plus grand (parts en quarts, donc plus grosses, que des huitièmes).
• 5/6 et 5/9 : 5/6 est plus grand (six parts au lieu de neuf).

Se repérer rapidement avec 0, 1/2 et 1 (avant de calculer)

Avant de faire des calculs, on peut souvent estimer : une fraction est-elle plus petite que 1/2 ? plus grande que 1/2 ? proche de 1 ? Ces repères évitent des erreurs et aident à vérifier un résultat.

Trois idées simples :

• Comparer à 1 : une fraction est inférieure à 1 si le numérateur est plus petit que le dénominateur (ex. 7/9). Elle est égale à 1 si numérateur = dénominateur (ex. 5/5).
• Comparer à 1/2 : une fraction est plus grande que 1/2 si le numérateur est plus grand que la moitié du dénominateur (ex. 6/10 car 6 > 5).
• Comparer à 0 : avec des fractions « classiques » (numérateur et dénominateur positifs), elles sont toutes > 0.

Exemple d’estimation : 5/8 et 2/3. On sait que 5/8 = 0,625, donc un peu au-dessus de 1/2. Et 2/3 est environ 0,666…, donc aussi au-dessus de 1/2, mais probablement plus grand. On confirme ensuite avec une méthode exacte.

Méthode la plus sûre : mettre au même dénominateur (avec le PCM)

Quand les dénominateurs sont différents, la méthode scolaire la plus classique consiste à transformer les fractions en fractions équivalentes ayant le même dénominateur. On peut alors comparer les numérateurs (comme dans le cas n°1).

Étapes :

1. Trouver un dénominateur commun, idéalement le PCM (plus petit commun multiple) des deux dénominateurs.
2. Transformer chaque fraction en multipliant numérateur et dénominateur par le même nombre.
3. Comparer les numérateurs obtenus.

Exemple : comparer 3/4 et 5/6. Le PCM de 4 et 6 est 12. On convertit : 3/4 = 9/12 (×3) et 5/6 = 10/12 (×2). Comme 10/12 > 9/12, alors 5/6 > 3/4.

Méthode rapide : le produit en croix (sans changer les fractions)

Le produit en croix compare deux fractions a/b et c/d en comparant a×d et c×b. C’est particulièrement pratique quand les dénominateurs sont grands ou quand le PCM est pénible à trouver.

Règle : pour comparer a/b et c/d (avec b et d positifs), on compare a×d et c×b :

• si a×d > c×b, alors a/b > c/d
• si a×d < c×b, alors a/b < c/d
• si a×d = c×b, alors les fractions sont égales

Exemple : comparer 7/13 et 8/15. On calcule 7×15 = 105 et 8×13 = 104. Comme 105 > 104, on a 7/13 > 8/15 (même si 13 < 15, la comparaison directe des dénominateurs ne suffit pas).

Simplifier, convertir en décimal : utile, mais pas toujours la meilleure idée

Simplifier une fraction (diviser numérateur et dénominateur par un même nombre) ne change pas sa valeur. En revanche, cela peut rendre la comparaison plus simple, notamment pour trouver un PCM ou reconnaître une fraction connue.

Exemple : comparer 6/8 et 3/5. On simplifie 6/8 en 3/4. On compare alors 3/4 et 3/5 : même numérateur, donc 3/4 > 3/5.

La conversion en décimal peut aider à visualiser, mais elle a deux limites :

• Certaines fractions donnent des décimaux infinis (1/3 = 0,333…), on doit arrondir.
• Arrondir peut faire perdre la précision si les fractions sont très proches.

Comparer plusieurs fractions : une méthode robuste en 3 étapes

Quand il y a 3, 4 fractions ou plus, la meilleure stratégie est de garder une méthode stable, plutôt que de comparer au hasard deux par deux.

1. Fais une estimation rapide (plus petit que 1/2 ? plus grand que 1 ?).
2. Choisis une méthode unique pour toutes : dénominateur commun (si possible) ou produit en croix (si les nombres sont grands).
3. Classe du plus petit au plus grand en notant clairement les résultats.

Exemple : classer 2/3, 3/5, 5/6. Dénominateur commun 30 : 2/3 = 20/30 ; 3/5 = 18/30 ; 5/6 = 25/30. Donc 3/5 < 2/3 < 5/6.